방향을 나타내는 방법: 벡터

벡터

• 스칼라: 스칼라는 크기만을 나타내는 물리량으로 길이, 넓이, 시간, 온도, 질량, 무게, 속력, 에너지 등을 말한다.
• 벡터: 벡터는 크기와 동시에 방향을 갖는 물리량으로서 변위, 속도, 가속도, 힘, 운동량, 전기장, 자기장, 각운동량등을 말한다.

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변위

벡터와 그들의 연산을 잘 이해하기 위해, 가장 간단한 벡터량인 변위에 대해 알아보자.

변위는 위치의 변화량, 크기와 방향을 가지는 벡터량으로, 이동거리와는 다른 개념이다.

간단히는 점의 위치 변화이다.

그림과 같이 점 P1 에서 P2로의 위치 변화를 P1에서 P2로 그은 직선으로 표시한다.

변위는 벡터량이다. 왜냐하면 그 입자가 얼마나 많이 움직였나 뿐만 아니라 어느 방향 으로 움직였나도 말하기 때문이다.

(문에서 북으로 3km 걸어서 도착하는 위치와 남으로 3km 걸어가서 도착하는 위치는 다르다. 이 두 변위의 크기는 같지만 방향이 다르다.)

벡터는 굵은 이탤릭 문자에 화살표를 위쪽에 붙여서 표시한다.

 

두 벡터의 뱡향이 같으면 이들은 평행한다고 한다.

만약 크기가 같고 방향이 같으면 이들이 놓여진 위치가 어떠하든 서로 같다.

 

벡터 는 그 뱡향이 의 방향과 반대이기 때문에 두 벡터는 서로 같지 않다.

어떤 벡터가 원래의 벡터와 크기가 같고 방향이 반대일 경우 그 벡터를 음(-)의 벡터로 정의한다

가 남쪽 10m를 뜻하면 는 북쪽 10m를 뜻한다.

위 그림의 관계는 or 로 표기된다.

이와 같은 관계를 반평행이라 한다.

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벡터의 덧셈

한 입자가 변위 만큼 움직인 후 변위 만큼 더 움직였다고 하자.

이때 변위 는 변위 와 의 벡터합이다.

위 그림과 같이 변위 와 를 역순으로 놓아도 그 결과는 같다.

즉, 벡터의 덧셈은 교환의 법칙을 따른다.

 

또한 꼬리가 같은 점에 오도록 놓여 있을 때 합벡터 는 와 를 양변으로 하는 평행사변형의 대각선이 된다.

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벡터의 뺄샘 

가 와 크기가 같고 방향이 반대인 벡터라고 했다. 이것이 벡터 뺄샘의 기본이다.

두 벡터 와 의 차이 는 와 의 합으로 정의한다.

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벡터의 성분

축적된 그림을 이용하여 벡터합을 측정하는 것은 그 정확도가 제한적이며, 직각삼각형을 사용한 계산은 두 벡터가 직각을 이룰 때만 가능하다.

벡터를 더하는 간단하면서도 일반적인 방법인 성분 방법을 알아보자.

직표 좌표계에서 벡터의 꼬리가 좌표계의 원점 O에 일치하도록 그린다.

xy평면 상의 벡터는 x축에 나란한 벡터와 y축에 나란한 벡터합으로 표시할 수 있다.

이 두 벡터를 각각 와 로 표시하며, 이들을 벡터 의 성분 벡터라고 부른다.

 

벡터 의 성분 와 는 단순히 수이다. 이들은 벡터가 아니다. 

방향과 크기를 알면 벡터 의 성분을 계산할 수 있다.

벡터의 방향은 어떤 기준 축과 상대적인 각으로 표시할 수 있다.

 

위 그림에서 +y축의 θ는 , -x축은 , -y축은 (또는 )이 된다.

만약  θ가 이런 방식으로 측정된다면 삼각함수 정의로부터 

 그리고 

 그리고 

이 성립된다.

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성분 사용하기

어떤 벡터든지 그 크기와 방향을 알거나, x축과 y축 성분을 알면 완전하게 기술할 수 있다.

위 그림에서 피타고라스 정리를 사용하여 벡터 의 크기를

와 같이 양(+)의 제곱근을 이용할 수 있다.

 

벡터의 방향에 대한 표현도 각의 탄젠트 값에 대한 정의로 부터 얻을 수 있다.

  그리고  

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by 소년코딩

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